[전기/회로이론] 중첩의 원리 및 밀만의 정리에 대해 알아보자(예제 + 정의)

안녕하세요

 

오늘은 중첩의 원리와 밀만의 정리에 대해 알아보고 예제까지 풀어보는 시간을 가지려고 합니다.

 

중첩의 원리란?

전기회로에서 두개이상의 전압원 혹은 전류원이 존재할 때 각각의 전원을 하나씩 분리해서 원하는 값을 구한 뒤 그 결과를 모두 합해서 값을 구하는 법칙입니다.

전기회로 내에 전압원과 전류원이 한 개씩 존재한다고 예를 들었을 때

1. 전원압을 단락시킨 뒤 원하는 전류값 등을 구한다.

2. 전류원을 개방시킨 뒤 원하는 전류값 등을 구한다.

3. 이 두 결과값을 합하여 원하는 결과를 얻는다.

이 3가지 과정을 기억해주시면 되고 전압원은 단락, 전류원은 개방이라는 원칙을 기억해 주시면 적용하기 쉬울 거예요.

전원의 개수가 여러개로 늘어나도 위 과정을 반복하시면 결과를 얻으실 수 있습니다.

 

밀만의 정리란?

밀만의 정리는 아래 그림에서 참고하면 3옴의 양단을 a-b라고 하고 이 양단 전압을 쉽게 구하고자 할 때 사용되게 됩니다.

이 양단의 전압을 구할 때는 조금 독특한 수식이 사용되게 됩니다.

아래와 같은 공식에 의해 구해지게 이식을 유도하는 방법에 대해 간략하게 설명해 보면 개방전압 Vab를 구할 때 개방회로에서의 전류는 0 [A]라는 것을 이용하여 구하게 됩니다.

10V의 전압원이 있을 때 그 10V의 전압원을 기준으로 위쪽을 10V. 아래쪽을 0V라고 표현하게 됩니다. 이를 동일하게 적용하면 Vab 윗단을 Vab로 놓을 수 있고 각 병렬 회로마다 전류가 한 곳으로 흐른다고 했을 때 이 값은 개방회로이기에 0 [A]가 나와야 한다는 것을 이용하여 증명하게 됩니다.

아래 내용이 밀만의 정리를 증명한 것이고 가장아래가 최종 밀만의 정리의 공식이 됩니다.

중첩의 원리 적용을 위한 예제

예제 요약

전압원이 5V, 10V로 2개 있는 전기회로가 있을 때 

1. 5V 전압원을 단락 시킨 경우

2. 10V의 전압원을 단락 시킨 경우

3. 두 경우에 따라 구해진 값을 더한다.

위에 제가 적어드린 3가지 과정을 똑같이 작성해 본 것이고 설명드리기 전에 앞전에 알려드렸던 합성저항 구하는 법과 전류분배법칙에 대해 알고 있으셔야 이해가 쉽습니다.

1번 케이스의 경우 1, 3옴의 저항을 합성저항을 구하고 직렬로 연결된 2옴 저항을 합한 뒤 전압원의 값을 나누어 줌으로써 전체 전류의 크기를 구합니다. 이후 전류 분배법칙에 따라 3옴에 흐르게 되는 전류의 크기를 구하게 됩니다.

2번 케이스의 경우도 마찬가지로 2, 3옴의 합성저항을 구하고 직렬로 연결된 1옴을 합한 뒤 전압원의 값(5V)을 전체저항 값으로 나눈 뒤 전류 분배 법칙에 따라 3옴에 흐르는 전류의 크기를 구하게 됩니다.

이렇게 구해진 10/11이라는 두 전류를 합해서 3옴에 흐르는 전체전류 값인 20/11 [A]가 구해지게 되는 원리입니다.

 

밀만의 정리를 이용해서 풀어보자

밀만의 정리를 이용하게 되면 일단 회로를 조금 다르게 변경해야 합니다. 아래 사진처럼 그림을 조금 바꾸고 진행해 보겠습니다. 

밀만의 정리

위처럼 회로를 조금 바꾸어 그리고 위에서 증명한 공식에 숫자를 넣게 되면 개방전압 Vab가 구해지게 됩니다. 이 개방전압은 3옴에 걸리는 전압과 동일하기 때문에 위 중첩의 원리를 적용해서 구했던 전류값을 구할 수 있게 됩니다.

전류값은 중첩의 원리를 적용했을 때와 동일한 값이 나오게 되는 것을 확인하실 수 있습니다.

 

마치며

같은 회로라도 이를 중첩의 원리, 밀만의 정리, 노드해석법, 메쉬해석법 등을 이용해서 구할 수 있습니다. 전기회로에서 원하는 값을 구하는 방법은 한 가지만 있는 것이 아니니 같은 회로를 다양한 방법으로 해석해 보는 것도 또 다른 재미가 아닐까 생각합니다. 추가로 글씨를 정말 못쓴다는 걸 다시 한번 느끼게 되는 계기가 되는 거 같아요. 악필이지만, 읽어주셔서 감사합니다.